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2013/06/08

みんごるグリーン上の物理学(傾斜編)

前回は真っ直ぐ打つ場合の計算や注意点をまとめましたけれど、今回はいよいよ斜めのカーブについて考えてみます♪
これをマスターしたら傾斜のあるパットもばっちり(^_-)-☆
と、言いたいんだけど、実際は一様に傾斜してる(平面がただ傾いただけ)のパットなんてそうそうありませんので、あまり期待しないで下さいネ(^。^;)

では、まず座標を決めておかないと計算出来ませんので、次のように取り決めます。
ボールの位置が原点でカップの方向をX座標とします。
カップと直角の方向はY座標になりますネ。
高さはHにしましょう~
そして打ち出す速度はV、カップに対しての角度をθとします。
さらに傾斜はそれぞれX座標に対する角度とY座標に対する角度で表現しま~す。
Photo
こ~んな感じです。
傾斜角度はそれぞれαとβにしました。
カップに対する高低差の角度がα、カップに対して横の傾斜がβです。

さて、打ち出す速度VはX成分とY成分に分解することが出来ます。
それぞれ Vx = V・cosθ、Vy = V・sinθ ですよね~

分解したX軸に対する動きはこのようになります。
Photo_2
上りなので重力による減速が a = g・sin α ですね。
進行方向に対する垂線Nは摩擦にかかる力です。
つまり、摩擦による減速は a' = |μ・g・cosα| となるわけです。(前回参照ネ!)
よってX方向の速度は vx = V0x - t・( a + a' ) となります。

Y軸もまったく同じ。αがβになるだけでOK~

お次は摩擦の計算です。前回のおさらいを兼ねて上の図に摩擦を入れてみますと・・・
Bandicam_20130626_160937030
むむ・・・ちょっと複雑になりました(^。^;)
と言っても左に尻尾が増えただけなんですけどねw
摩擦は進行方向に対して真逆の減速になりますから、後に尻尾が出ることになります。
摩擦は進行方向の接地面に対して垂直に働きますので、進行方向に対して縦にバッサリ切るとこんな図になります。(上図のピンクの面で切った断面ですネ)
Bandicam_20130626_161006454
重力に対して斜面の角度分だけ摩擦は弱くなりますので、こんな計算になります。
前回のおさらいで摩擦力a' = μ・t・Nです。
斜面なのでN = g にはならず、N = g.cosγ となりますから、結果として
a' = μ・g・t・cosγ となります。

γは進行方向に対する斜面の角度です。計算上γが何度かを知る必要はありませんよ。
cosγさえ分かればいいですからネ(^_-)-☆
つまり2つ上の図のようにVhが分かってるので sinγ = Vh / V ですから
cosγ = 1 - sinγ で計算出来ます♪

あとはこんな感じで(2つ上の図を真上から見た図ですよ~)
Bandicam_20130626_161019109
速度Vと同じように摩擦a' をX方向とY方向に分解すればOK(*^^*)

しかしまあ、角度がいっぱい出てきてよくわかりませんねw
ちょっとこんな例で計算してみます。
2h
めっちゃ上り、かつ斜め><

まず、式を見ると何度か?は知る必要がないのがわかります。
sinとcosが分かればOKなんですね~
というわけで、4.7mパットで23cmの上りなのでsinαは0.23/4.7で0.049です。
cosαは1-|sinα|なので、cosαは0.951ですネ。(cosαは摩擦で利用するので常に正)
横の傾斜は角度が分かりませんので、こんな感じで調べます。
2h_2
まず上から見る画面に切り替えて右スティックで指を出します。
んで、中間あたりの右1mと左1mの高さを読むわけです。
右が21cmで左が9cmなので、幅2mで高低差12cmだから、1mにつき6cmの左傾斜です。
ということは、sinβは0.06でcosβは0.94ということです!

さて、ここまでの式をちょこっとEXCELで組んでみましたよ。
Bandicam_20130626_165713909
赤い部分は手で入力、あとは自動計算~♪
距離4.7mの23cm上りなので打つ力は7mのパワーです。
さっきの計測で横1mの高さは6cm、カップの距離と高さは4.7mの23cm。
11°横向いて打った場合の軌跡がこれです。
赤い点線の矢印が打ち出す方向なので、カップから1.8マス横に打てばOKってことですよ。

では、打ってみますよ~
2hdir
方向はこんな感じかな~70%で打ってみると・・・
2hcup

おお!入りました!計算通り!( ̄+ー ̄)キラーン☆
これいいぞ~((o(´∀`)o))

お次はこういう激下り&傾斜(ーー;)
04h
こうなるとお手上げですね~(ひろこはねw)
04h_2
3.1mで下り26cm・・・横傾斜は1mで6cm。横傾斜はさっきと同じですね。
で、エクセルで、パワーは3.1m下り26cmなので0.5mとすると
4h
なにこれ・・・全く届きませんね~。カップから35°の方向のこれが一番遠くまで飛びますけど、
1.3m先で遥か遠いカップを横切ってしまいます。よくショートしちゃう難しいパットなんですね。
では適正なパワーは、と言いますと、0.5mのパワーだと1.3m先でカップを横切るわけですから
3.1m先で横切るには3.1÷1.3×0.5で計算出来ますね。答えはパワー1.2mです。
4h_2
この通り入りますね~♪。

では、実際に打ってみましょう~
3.5マスぐらい横ですから~こんな方向だけど入るのかな?(^_^;)
04hshot

パワーは1.2mで・・・
04h_3
(゚o゚;;なんと11%になっちゃった(^_^;)
けど、ぎりぎり入りましいた!すごい勢いだったけどw

一応検証してみますと、
4h_3
確かにそこそこ速い速度でカップを舐めてギリ入るようです♪

続いて上りのパットです。
05h
4.6mで26cmの激上りパット!

05h_2
左に1mあたり7.5cmと横の傾きもかなりきついですね~
セカントショットの軌跡を見ても激戻りの跡がw

さて、パワーはセオリーとおり7.2mで打つとして、結果はこれです。
5h

ん?なんか戻って来ていますよね~
実際はカップインしますから下半分の軌跡は通らないんですけど、
もしはずしたら戻ってくるってことで、それだけ傾斜がきついということですね。

では打ってみます。
方向は13°カップの左2マスを狙えばよさそうです。(赤い矢印の先端の位置ネ)
05hpat
何とか入りました~
ちょっと弱かったみたいですね。
計算はグリーンが一様な傾きが前提なのでなるべくそれらしい場所を探して検証してますけれど、やっぱり少し起伏があるのかもしれません。

さて、みんごる6のパットではコロコロ~って戻って来て入るパターンがみんごる5より多くなったような気がしますが、気のせいでしょうか?
もしかして新しい吸い込みロジックでも組み込んであるんでしょうか?その割にチップは入りませんが(^_^;)

先の計算で止まらずに戻ってくる軌跡がヒントになりますよ。
わざとでちょっと方向とパワーを間違えてみるとこうなります。
5h_2
方向は18°と5°(0.5マス)切りすぎでパワーは4%強めです。
ほら、これ、戻って来て入るパターンですよね~

実際に打ってみると、こうなります!
05hpatm

ばっちり戻って入ります(*^^)v

ということで、コロコロ~って入るのは、特殊なロジックがあるわけではなく、
ただ単にみんごる6のグリーンは傾斜のきついグリーンが多いという結論でよいと思います(´・ω・`)ザンネン

まあ、傾斜きつすぎてこんなことが出来るホールもありますよ~
11hm

2.6mで上り17cmのパットだけど9mのパワーで打ってみたりして計算w
11h

でもって実際に打ってみると・・・
11hm2
猛スピードでカップの横を通過、3mぐらい行き過ぎてようやく止まって、
ゆっくり戻ってきたよ。じわじわと加速して最後はカッコ~ン!
まあ、実際にはカップ手前で減速して計算ほど速くありませんでしたけどネ。

続いて、激横傾斜の場面に行ってみます。
07hup
見るからに右傾斜ですね!画面では目まぐるしく右へ点々が流れていますw
距離は4.9m、7cmのアップと高低差は少ないですけど、左右はどれぐらい傾いているのでしょうか。
07h
右1mで-10cm、左1mで+10cmと1mあたり10cmの勾配です。ちょっとした坂ですねw

パワーを5.6mとして計算してみますと・・・
7h
ありゃ、届きません(+д+)

実際に打ってみてもやっぱりだめですね~
07h_2

いろいろな角度で打ってみても・・・
7h_2

どうしても26°で打った4.3m以上近づくことが出来ないことが判ります。

では、パワー何mで打てばいいのでしょうか?
5.6mで打ったら4.3mしか届かないところを何mで打てば4.9mに届くかってことなので
上の方の激下りで計算したのと同じように4.9÷4.3×5.6=6.38となります。
つまり6.3m~6.4mあたりで打てばOKってことですネ!
計算してみますとバッチリです(*^^*)
7h_3

では打ってみましょう。26°は矢印を見ると丁度4マスですね。4マス左を向いて・・・
07hpat

バッチリ!グー(^-^)g""

いかがですか?
簡単な式だけでも結構シミュレート出来ることが判りますね~(*^^)v
式のおさらいをしておきます。

●打ち出す速度 v0 = √(2xμg)
x は平面での到達距離(打ちたいパワーでの距離ね)
μは摩擦係数。どうやらμ = 0.1 らしい。
g は重力。誰でも知ってる9.8m/tt  (ttはtの二乗ですよ)

●速度の分解 vx = v・cosθ、vy = v・sinθ
θはカップ方向を0°とした進行方向の角度

● t 秒後のX方向速度(カップ方向) vx = v0x - t・( ax + ax' )
ax は重力による減速(つまり上りが正) ax = g・sin α
ax'は摩擦による減速(常に正)ax' = |μ・g・cosγ・cosθ|
αはX方向の傾斜角度
γは進行方向に対する上下の仰角

● t 秒後のY方向速度(カップと垂直方向) vy = v0y - t・( ay + ay' )
ay は重力による減速(つまり上りが正) ay = g・sin β
ay'は摩擦による減速(常に正)ay' = |μ・g・cosγ・sinθ|
βはY方向の傾斜角度
   ※cosγ = 1 - ( Vx・sinα + Vy・sinβ ) / V

これだけで~す。
あとはEXCELなり何なりで1フレーム(1/30秒)づつ t を増やして計算するだけです♪
でもまあ、打ち出す角度はいろいろ試して良さげな角度を見つけるしかないので、実用的じゃありません(゜´Д`゜)
めちゃくちゃ頑張って、x=カップ距離、y=0になる解を求める式を解くことが出来れば
一発で方向とパワーが計算出来るわけですが、ひろこの頭では全然無理ですw
(そんなことが可能かどうかもわかりません・・・(´Д`))

というわけで、ここまで、グリーン上の転がりも簡単な式で表せることがわかりました!
そして、みんごるのセオリー通り打ってもショートするパットも見えて来ましたね。(山超えだけじゃないんですw)
でも、いちいちパットの度にこんな計算やってられませんし、ショートするパットは事前に知る手立てが必要ですよね。
そこらあたり、この式から見えてくる実践に役立つヒントを次回は書いてみることにしま~す。
あと、悩みの種、下って上がるパットのショートについてもちょっとだけ、書けたらいいなぁ~
(現時点では謎のまた謎ですw)

ではでは、またね~( ´ ▽ ` )ノ

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みんごるグリーン上の物理学(傾斜編)を参照しているブログ:

コメント

こんにちは〜♪

パット傾斜編
勉強になりましたφ(..)メモメモ
コロコロ戻って入る現象が計算でできるとは^^;
傾斜利用で絶対入れることができないと思われていたパットも
計算で可能になってくると
ショット以上に考える時間を費やしたくなりますね(^_^;)

パット検証
ありがとうございました^^


こんにちは。
すごい検証されてますね(゚Д゚il!)
神サイトと崇めさせていただきます( ̄人 ̄)
エクセル画像について質問してもよろしいでしょうか?

E9のセル(Vyの0.03秒後)ですが計算すると
0.83-0.03*(9.8*0.06+0.1*9.8*0.94) = 0.78
で結果が合わないのですが、なにか係数を掛けられたりしてますか?^^;
初速Vも√(2*2.9*0.1*9.8)=2.38で若干違うような・・勘違いでしたらすみません;;

理系のせいかこういう数字が合わないと眠れなくなってしまう性分でして(゚_゚i)お手数おかけしてすみませんm(._.)m
今後も情報UP楽しみにさせていただきます。

こんにちは~
パット検証お疲れ様でした('◇')ゞ
パットをこうやって物理学で解くのも面白いですね~
勉強になりました(*´▽`*)

ショートするラインとして他には、
最初の方だけ下って、途中からFLATになっているパット
でも起こりますね(´・ω・`)
メープル1Hとかレガシー5H(2番,4番ピン)でよく見かけるラインですね(;´・ω・)
あれも計算で出来るのか試してみるのも面白そうですね~
私もこれだけExcel使いこなせれるようになりたい………( ;∀;)羨ましいですw

ではではヴァンでした~m(__)m

anyさん、こん(^^)/
カップ周辺でコロコロと戻って入るパターンはやはりグリーンの傾斜の影響のようですね。
そういえばみんごる5でもジュラはそういうパターンが多かったように思います(^^)
実は実際の検証にanyさんのブログも結構参考にさせていただきました。
いつもありがとうございます。(#^^#)

ねこ1の理系さん、はじめまして(^^)b
検証ありがとうございます。数字まで見ていただけてるとは光栄です♪
ご指摘のとおり、2つほどミスがありますね。

まずVyが合わない件ですけど、これは式の方が間違っていました。
摩擦は進行方向に対して真逆にかかるのでax'とay'にかかる摩擦は力を軸に平行に
分解する必要がありますからそれぞれcosθ、sinθを掛けないと駄目ですね。
ax' = |μ・g・cosα・cosθ|
ay' = |μ・g・cosβ・sinθ|
EXCELの計算はこの式ですけど、図描いたり原稿書いてる間にいつの間にか抜け落ちちゃったようです。

初速の方はお察しのとおり係数が掛かった表を載せちゃいました。
次回の下って上るパットの検証の痕跡が・・・(^o^;アセアセ
時間を見て記事の方も直しておきま~す。

これからもしっかりご指摘よろしくですw

ヴァンさん、こん(^^)/
下って上がるとか、下って平面とか、キーポイントは最初だけ重力の加速があって、その後なくなるパターンです。
特に最初の下りがきついほどショートが顕著になりますので、このあたりにヒントがありそうです。
経験的に最初の下り分を無視するパワーで打つと概ねぴったり合いますので、
特に最初の下りが摩擦減速よりも重力加速が勝つような斜面でボールが宙に浮いてるのではないか?
なんて疑ってみたりしますけど(つまり水平に打ち出してる)・・・実際はどうなんでしょうね~
もう少し検証して、記事にしていきたいと思ってます♪

ひろこさん こんばんは(❛ᴗ❛)╯丁寧なレスありがとうございます。
検証の根幹に関わる部分と思いましたので、
小姑のような気分で細かい指摘をさせて頂きました ू(ᴗ̤ .̮ ᴗ̤ ू̀ )

下りから上りラインのショートですが、
単純に上がるよりも移動距離が伸びるための摩擦ロス増加が原因と個人的に思っていました。
でも下りのキツさでショートの度合いが変わるということでしたら、
ボール向きが変わる際に芝の弾性でエネルギーが奪われているのかもしれませんね。

演繹的なアプローチで攻略されている方を初めてみました。
スマートでカックいいですね(ᵒ̤̑ ₀ ᵒ̤̑ )
これからのご活躍と 攻略検証 楽しみにさせていただきま~す ٩̋(๑˃́ꇴ˂̀๑)

ねこ1の理系さん、こん(^^)/
ご指摘があっていろいろ見直してたらまだちょっとした計算ミスも発見してしまいまして、
図版を含めてこの記事を書き直そうと思ってます(*^^*)
ちょこっとお仕事が忙しいので来週かな~(^。^;)

ショートの件、移動距離増加だけでは説明がつかないほどショートするので
なにか別の要因もからんでいると思ってます。
宙を飛んでるのか、はたまたポリゴン境界でバウンドして反射係数による減衰なのか・・
なぞですね~(?_?)

お久しぶりです、たくさん研究されてますね、ホントに感服させられます。

みんゴル6では下ってから登るパットだと、1m強く打たないと入らない、というケースも新たにあるようです。
このようなシチュエーションはなるたけ、避けたいですよね。

基本中の基本ですが、スコアのアベレージを大事にするならば、「次のパットが上りになるように止める」ことがいいですね、デコボコグリーン(レガシー4H、マルシエロ8、9、18Hなど)ならなおさらその戦略が効きますよね。


先週は僕は、北海道の道東(オホーツク地方)で、コース調査を兼ねた「パークゴルフ」をして、美味しいものも食べました。
道東はホタテや蟹が良く取れます。

ちなみに、僕もみんゴルを初めとしたゴルフゲームで鍛えこんだ知識を活かし、「自作ゴルフコース」なるものを作ったりしています。
(「自作みんゴルプロジェクト2012冬」のURL: http://pgshotopus.blog.fc2.com/blog-entry-686.html

暇なときにでも見てくださるとうれしいです、きっとみんゴルエリートのひろこさんならニヤリとする記事だと思いますんで。

それでは長文失礼です。

しゅんY-012さん、お久し(^^)/
北海道は食材豊富でいいですね~♪
パークゴルフは経験ないですけどリアルとみんごるが両立してて楽しそうです(#^^#)
ちなみにひろこのリアルゴルフはプレー時間の9割がボール探しですw


ひろこさん、おひさでしcat

プライベートが忙しくって(友達に頼まれてバイト2つを掛け持ちしてたでし)、
なかなかみんゴルに来れなかったら、新キャラ2人も増えてるし、コースも増えてるし、
なんだか、lv4のクラブとボールも増えてるし・・・coldsweats02

とりま、せっせとコース回ってキトゥンの愛着がやっとMAXになりましたhappy01

で、lv4のせーで、またデータを取り直しになって、心が折れてしまいweep
テキトープレイで、遊んでますsweat01

当然、良いスコアがでるわけが無くって(寄らないから、苦手なPTをしなきゃならない><)、
凹んだりもしてたりしてますcrying

そんな時に、ひりこさんがブログでデータUPしてたりするのを見ると、うちもがんろって
励まされちゃいますhappy01

もうしばらく忙しいので、少しずつデータ収集をまた再開してみたいと思いますgolf

マミちゃん、おひさし~(^^)/
バイト2件って大変ですね~
σ(^^)も最近旦那のお手伝いパートが増えちゃってみんゴル率低下してますw

lv4では多少距離が伸びただけですから、データの取り直しまではしなくても・・・(^。^;)
でも、lv4のお陰でひろこはビグイン復活ですよ♪寄せが良くなってロンチ増えました(*^^*)
この記事はちょっと計算間違いとかあって、いま書き直し中です。(はかどってませんがw)

無理しないで、暇になったらみんゴルに来てくださいネ♪待ってま~す(*^^*)

ころころころさん、こんにちは(^^)

えっと、僕アホなんで理解不能すぎるw
この記事はホンマにすごいわ、さすがころさんや(^^)
検証お疲れ様でした^^

ころさんの6の動画まだかなぁ~?
さりげなく楽しみにしてるねんけどなぁ~
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              

せるさすさん、こん(^^)/
今回の記事はまあパットもある程度計算で出来ちゃうよ~ぐらいの意味しかないですよ。
実践ではエクセルに打ち込んでゴニョゴニョやってたら即タイムアップしますw
この結果を踏まえて実践でも役立つ攻略に仕上げようと鋭意検討中ですけど、いつになることやらw

動画ですか~
レガシーノーミスとかやりたいんだけど腕の方がついてこなくてw
どこか希望のコースとかありますか?

女神、コンバンワ━ヽ(*´∀`)

希望のコースとか、うれしいなぁ。
じゃぁ、アルアラかプロヴァンス見てみたいです(^^)

多分みんな見たいのはこの辺りちゃうかなぁ~とw
ころさん忙しそうやから、暇が出来たらお願いします(●´З`●)ノ

せるさすさん、こん(^^)/
女神はやめてw
アルアラかプロヴァンスってことで了解です。R?B?
みんごる5みたいなサーカスショットは出来ないけど、暇をみて撮ってみま~す♪

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